Um den nativen Spotify-client unter LinuxMint zu nutzen muss man die Paketquelle von Spotify einbinden die auf der "Geheimlabor"-Seite von Spotify zu finden ist:
https://www.spotify.com/de/download/previews/
Die Anleitung dort lautet:
Debian
1. Füge diese Zeile zu Deiner Liste der Repositorys hinzu, indem Du /etc/apt/sources.list bearbeitest:deb http://repository.spotify.com stable non-free
2. Wenn Du die heruntergeladenen Pakete verifizieren möchtest, musst Du unseren öffentlichen Schlüssel hinzufügen:
sudo apt-key adv --keyserver hkp://keyserver.ubuntu.com:80 --recv-keys 94558F59
3. Führe apt-get update aus:
sudo apt-get update
4. Installiere Spotify!
sudo apt-get install spotify-client
Da LinuxMint auf Debian basiert kann aber das zur Verfügung gestellte Paket benutzt werden.
Ich persönlich find's befremdlich, daß es Spotify keinen Tarball zur Verfügung stellt.
Dann könnte jeder sich sein eigenes, passendes Paket zusammenbauen.